1. Menentukan Kelipatan Bilangan.
Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Kita juga masih ingat dengan membilang bilangan loncat. Mari kita perhatikan garis bilangan di bawah ini.
Mari kita tuliskan bilangan loncat 2 yang ditunjukkan tanda panah pada garis bilangan di atas yaitu 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya Dari manakah bilangan-bilangan tersebut diperoleh? Mari kita selidiki bersama-sama.
2 = 2 = 1 × 2
4 = 2 + 2 = 2 × 2
6 = 4 + 2 = 2 + 2 + 2 = 3 × 2
8 = 6 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2
10 = 8 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 × 2
dan seterusnya. Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya atau mengalikan 2 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan kelipatan 2. Dengan cara yang sama dapat kita cari bilangan kelipatan 5 sebagai berikut.
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
dan seterusnya
Jadi, kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, dan seterusnya.
2. Faktor Bilangan
Apakah faktor bilangan itu? Perhatikan uraian berikut.
6 = 1 x 6
6 = 2 x 3
Dalam hal ini, 1, 2, 3, 6 disebut faktor positif dari bilangan 6.
Contoh lain:
18 = 1 x 18
18 = 2 x 9
18 = 3 x 6
Nah, bilangan 1, 2, 3, 6, 9, dan 18 disebut faktor positif dari 18.
a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika a membagi habis b. Dengan kata lain
dapat ditulis b = a × n, dengan n adalah suatu bilangan bulat.
3. Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan
Apakah kelipatan persekutuan itu?
Bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Bilangan-bilangan yang sama dari kelipatan kedua bilangan tersebut adalah 6, 12, 18, 24, …
Bilangan-bilangan 6, 12, 18, 24, … disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.
Jadi dapat disimpulkan bahwa “Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatan-kelipatan dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama”.
4. KPK dan FPB
Apakah yang dimaksud KPK dari dua bilangan? Bagaimanakah cara menentukannya? Mari kita cari kelipatan persekutuan dari bilangan 4 dan 6.
Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , 40, 48 …
Kelipatan 6 adalah 6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48 , 54, 60, …
Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, …
Coba perhatikan. Berapakah kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang paling kecil? Bilangan itulah yang disebut KPK dari 4 dan 6. Jadi, diperoleh KPK dari 4 dan 6 adalah 12.
Apakah yang dimaksud FPB dari dua bilangan? Bagaimanakah cara menentukannya? Mari kita cari kelipatan persekutuan dari bilangan 24 dan 16.
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, 16
Faktor persekutuan dari 24 dan 16 adalah 1, 2, 4, 8.
Coba perhatikan. Berapakah faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 16 yang paling kecil? Bilangan itulah yang disebut FPB dari 24 dan 16. Jadi, diperoleh FPB dari 24 dan 16 adalah 8.
5. Menentukan KPK dan FPB dengan Faktorisasi Prima
Dalam menentukan Faktorisasi Prima, kita bisa menggunakan pohon faktor. Contoh berikut adalah pohon faktor 90 dan 168
Maka 90 = 2 . 32 . 5
168 = 22 . 3 . 7
Untuk menentukan FPB 2 bilangan menggunakan faktorisasi prima, caranya adalah perhatikan faktor yang sama, kemudian pangkatnya terendah atau sama. Hasilnya kita kalikan. Contoh pada FPB 90 dan 168 di atas adalah
- faktor yang sama 2, 22, 3, dan 32.
- maka untuk menentukan FPB-nya, kalikan 2 dengan 3 sama dengan 6. Ditulis, FPB 90 dan 168 = 2 x 3 = 6.
Untuk menentukan KPK 2 bilangan menggunakan faktorisasi prima, caranya adalah perhatikan faktor yang sama ambil yang pangkat tertinggi hasilnya kita kalikan dengan faktor lain yang tak sama. Contoh pada KPK 90 dan 168 di atas adalah
- faktor semuanya: 2, 22, 3, 32, 5, dan 7.
- maka untuk menentukan KPK-nya, kalikan 22, 32, 5, dan 7. Ditulis, KPK 90 dan 168 = 22 . 32 . 5 . 7 = 4 . 9 . 35 = 1260.
6. Menyelesaikan Masalah KPK dan FPB
Apa kegunaan KPK dan FPB? Adakah contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep KPK dan FPB? Mari kita bahas dan pelajari bersama.
Contoh Masalah KPK.
Ema dan Menik sama-sama ikut les matematika. Ema masuk setiap 4 hari sekali, sedangkan Menik masuk setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka masuk les bersama-sama, berapa hari lagi mereka masuk les bersama-sama dalam waktu terdekat?
Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan di atas?
Alternatif Penyelesaian Masalah.
Berikut adalah urutan jadwal Ema dan Menik masuk les setelah hari ini.
Ema : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
Menik : 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Jadi, mereka akan kembali masuk les bersama-sama dalam 12 hari lagi. Apa yang dapat disimpulkan dari penyelesaian masalah di atas? Betul, 12 adalah KPK dari 4 dan 6. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas menggunakan KPK.
Contoh Masalah FPB.
Dalam rangka merayakan hari ulang tahunnya, Ema membagikan 75 buku tulis dan 50 pensil kepada anak-anak yatim piatu. Setiap buku tulis dan pensil akan dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak.
a. Berapa anak yatim yang bisa mendapatkan buku tulis dan pensil?
b. Berapa buku tulis dan pensil untuk masing-masing anak?
Alternatif Penyelesaian Masalah.
Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan ini? Mari kita selesaikan bersama-sama.
- Ada 75 buku tulis. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama banyak, maka buku tulis tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 3 anak, 5 anak, 15 anak, 25 anak, atau 75 anak
- Ada 50 pensil. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama banyak, maka pensil tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 2 anak, 5 anak, 10 anak, 25 anak, atau 50 anak
Jika setiap buku tulis dan pensil dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak, maka buku tulis dan pensil tersebut dapat dibagikan kepada 1 anak, 5 anak, atau 25 anak.
Jadi, penyelesaian masalah di atas adalah sebagai berikut.
a. Banyak anak yatim yang mendapatkan buku tulis dan pensil dengan bagian yang sama, paling banyak 25 anak.
b. Setiap anak mendapatkan 75 : 25 = 3 buku tulis dan 50 : 25 = 2 pensil.
Jika diperhatikan dengan seksama, 25 adalah FPB dari 75 dan 50. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas dilakukan dengan menggunakan FPB.
